Sonnenuntergang in Kassel (Lara Bendig)

Dienstag, 12. Januar 2021

Dopplereffekt in der Astronomie: III Herleitung der Dopplerformel

 Heute möchte ich zeigen wie man die Dopplerformel für Licht für Geschwindigkeiten v, die sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sind, herleiten kann.

Der Vorteil bei Licht ist, dass man nicht zwischen Bewegung der Lichtquelle und des Empfängers unterscheiden muss.

Für v << c gilt:

Während der Periodendauer P einer Lichtwelle entfernen  sich Sender und Empfänger mit der Geschwindigkeit v. Dies entspricht der Strecke v * P. Um genau diese Strecke erscheint die Wellenlänge verlängert. Es gilt also:

Δλ = v * P

Das ist die bekannte Formel: Zurückgelegter Weg = Geschwindigkeit mal Zeit

Die Periodendauer P ist der Kehrwert der Frequenz f der Welle: P gibt die Dauer einer Schwingung in Sekunden an, f die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.

Also gilt: Δλ = v/f         (1)

Nun ersetzen wir die Frequenz durch die berühmte Wellengleichung: c = λ * f, wobei c die Lichtgeschwindigkeit und λ die ursprüngliche Wellenlänge (ohne Bewegung) ist. Damit erhalten wir die Formel für f = c/λ.

Das setzen wir in Gleichung (1) ein und erhalten:

 Δλ = v * λ/c

 Das sortieren wir noch um:

    Δλ / λ   = v / c

Für v << c gilt: 

Die Wellenlängenänderung Δλ verhält sich zur Wellenlänge λ wie die Relativgeschwindigkeit v zur Lichtgeschwindigkeit c.

Bei einer Annäherung von Lichtquelle und Beobachter erhält man durch eine entsprechende Argumentation die gleiche Formel: 
Δλ ist die Verkürzung der Wellenlänge. Es kommt zu einer Blauverschiebung.

Das ist in dieser Skizze in leifiphysik dargestellt  (T entspricht P):


Nähern sich die Bewegung von Sender und/oder Empfänger der Lichtgeschwindigkeit an, so macht sich noch die Zeitdilation bemerkbar. Es gibt eine zusätzliche Wellenlängenänderung. Das nennt man den relativistischen Dopplereffekt. Bei ihm muss man auch unterscheiden, in welcher Richtung die Bewegung stattfindet.

Darauf soll hier aber nicht eingegangen werden.

 

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