Sonnenuntergang in Kassel (Lara Bendig)

Freitag, 2. September 2022

Relativitätstheorie für Raumfahrer/innen, Teil 3: Beschreibung der eigenen Welt (1)

 Die Beschreibung der eigenen Welt

In der SRT wird der „äußere“ Beobachter B als derjenige angesehen, in dessen Welt alles stattfindet und der über die LT umrechnen muss in die bewegte Welt im Raumschiff.

Es ist aber eher andersherum: Die Astronauten im bewegten Raumschiff erleben die Welt und müssen konsistent ihre Erlebnisse beschreiben können, ohne sie umzurechnen, so wie sie in der fiktiven Welt des äußeren Beobachters B passieren.

Sie haben im Raumschiff eigene Messwerte für Zeit, Abstand, Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Man spricht von der Eigenzeit: Die Eigenzeit τ ist die Zeit, die eine Uhr im Raumschiff misst.

Die Eigenlänge L0 ist die Länge, die man im Raumschiff direkt mit den dort vorhandenen Linealen durch Anlegen messen kann.

Die Eigengeschwindigkeit σ ist der Messwert für die eigene Bewegung, aus dem Raumschiff heraus bestimmt, oder aber auch die aus dem Raumschiff gemessene Geschwindigkeit eines vorbeifliegenden anderen Raumschiffes.

Die Eigenbeschleunigung α ist die Beschleunigung, die ein im Raumschiff befindlicher Beschleunigungssensor im Handy des Raumfahrers anzeigt.

Weitere Eigengrößen, wie Eigenkräfte, Eigendrehimpulse etc. wollen wir hier nicht besprechen.

Bestimmung der Eigengrößen

Mit Hilfe der LT kann man die folgenden Formeln recht leicht herleiten. Wir geben sie nur an und besprechen ihre Bedeutung:

Es ist üblich, kurze Zeiten oder Wegstrecken zu betrachten. Dies drückt man in der Mathematik durch ein Differenzial aus: dt ist eine beliebig kurze (aber durchaus auch als sehr lang erlaubte) Zeitdifferenz. Das d steht für Differenz.

Wer mehr über die Differenziale wissen möchte (und manche Überraschung über den Schulgebrauch erleben will), sehe sich mal die ersten Posts in diesem Kurs an: https://www.natur-science-schule.info/blog-2-differenzialgleichungen

Da man in jedem gekrümmten Raum (was auch immer das jetzt bedeuten soll), auch die SRT anwenden kann (wenn man sich auf ganz kleine Bereiche beschränkt), hat sich diese Darstellung eingebürgert.

Eigenzeit

Sei dt eine Zeitdifferenz unseres Beobachters und dt` die entsprechende im Raumschiff, die wir als die dortige Eigenzeit dτ identifizieren.

Dann gilt für die Eigenzeit dτ = 1/ γ * dt 

    

Da γ immer größer als 1 ist (es ist ja v<c und man sollte darauf achten, dass die Wurzel in einem Nenner steht) erhält man für die Eigenzeit immer einen kleineren Wert als für die Zeit des Beobachters. Die Eigenzeit im Raumschiff verläuft langsamer. Das nennt man die Zeitdilatation.

Übrigens: Auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt es den Begriff der Eigenzeit. Er ist von der Metrik bestimmt, also der Art, wie Raumpunkten Abstände zugeordnet werden.  Bekannt ist die sog. Schwarzschild-Metrik, die in der Nähe Schwarzer Löcher gilt.

Hier ergibt sich für den Zusammenhang zwischen der Zeit t eines äußeren Beobachters und der Eigenzeit τ:

Dabei ist r der Abstand zum Mittelpunkt und rS der Schwarzschildradius, also der Horizontradius des Schwarzen Lochs.

Im Abstand r = 3/2 * rS liegt der sog. Lichtring (photon orbit). Hier können Photonen beliebig lange das Schwarze Loch umkreisen.

wird fortgesetzt

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