Was das dritte Keplersche Gesetz sagt
Kepler hat lange gebraucht, um die "Zahlenspielerei" seines dritten Gesetzes zu finden: P² ~ a³:
Die Quadrate der Umlaufszeiten sind proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse.
Wie ist er vorgegangen?
Von der Erde wusste er die Umlaufszeit: 1 Jahr.
Von den anderen großen Planeten konnte er sie bestimmen, aber das ist gar nicht so einfach:
Ich will versuchen, seine Idee zu beschreiben:
Dabei brauchen wir den begriff der Winkelgeschwindigkeit: Das ist ein zurückgelegter Winkel (am Himmel) oder auf der Bahn pro Sekunde. Sie ist proportional zu einer Frequenz (Häufigkeit pro Zeit), mit der z.B. ein Planet am Himmel sichtbar ist.
Der Mars bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω(M) um die Sonne, die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit ω(E).
Der Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit und Umlaufsperiode ist:
ω = 2*π* f = 2*π/P, da P = 1/f als Umlaufsdauer der Kehrwert der Umlaufsfrequenz ist.
Da wir den Mars von der bewegten Erde aus beobachten, erkennen wir nur die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten als Bewegung am Himmel.
Das kann man leicht an zwei Autos verstehen: Wir beobachten ein Auto aus einem fahrenden Auto heraus....und sehen die Differenzgeschwindigkeit.
Wir nennen diese Differenz die scheinbare oder synodische Bewegung:
ω(syn) = ω(E) - ω(M)
Auch die synodische (scheinbare) Winkelgeschwindigkeit lässt sich als Kehrwert einer synodischen, scheinbaren Periodendauer darstellen.
Damit erhalten wir:
1/P(syn) = 1/P(E) - 1/P(M)
Um auf diese Formel zu kommen, habe ich in die Differenzformel der Winkelgeschwindigkeiten einfach die zugehörigen 2*π/P eingesetzt und die 2*π gekürzt.
Kepler hat ja die Marsbahn gut beobachtet, er konnte die synodische Periodendauer des Mars bestimmen. Das ist z.B. die Zeit zwischen zwei Stellungen, in denen der Mars der Sonne gegenübersteht (Oppositionsstellungen, Mars ist die ganze Nacht zu sehen). Das sind 2,14 Jahre.
Die Umlaufszeit P(E) der Erde um die Sonne kannte Kepler auch: P(E) = 1 Jahr.
Was Kepler suchte, war die Umlaufszeit P(M) des Mars:
1/2,14 = 1/1 - 1/P(M)
Man erhält dafür 1,88 Jahre.
Also: Alle 1,88 Jahre umrundet der Mars die Sonne und alle 2,14 Jahre sehen wir auf der Erde ihn relativ zur Sonne in der gleichen Position. Nur diese letzte Zahl konnte Kepler beobachten. Die gesuchte Zahl musste er durch diese Überlegungen errechnen.
Auf diese Art hat er auch die (wahren) Umlaufszeiten der anderen Planeten bestimmt.
Das nützte ihm aber nichts, denn er hatte nur präzise Beobachtungen der Marsbewegung, aus denen er die Marsbahn relativ zur Erdbahn konstruieren konnte.
Nahm er die Entfernung der Erde dabei als Einheit (1 AE = 1 Astronomische Einheit = 150 Millionen km), konnte er auch die Entfernung des Mars zur Sonne in AE, aber nicht in km, bestimmen.
Er erhielt aus seinen Konstruktionen der Marsbahn 1,5 AE.
Nun machen wir mit Kepler weiter: 1,88² = 1,5³ ...wer hätte das gedacht...
Damit hatte er seine Formel durch Ausprobieren gefunden... P² ~ a³
Nun könnte man für alle Planeten aus den Umlaufszeiten die Sonnenabstände in AE berechnen und ein maßstabsgetreues Modell des Planetensystems zeichnen:
Umlaufszeiten der Planeten:
Merkur: 88 Tage
Venus: 0,625 Jahre
Erde: 1 Jahr
Mars: 1,88 Jahre
Jupiter: 11,9 Jahre
Saturn: 29,6 Jahre
Erst viel später, nach 54 Jahren, konnte Cassini 1672 die Entfernung Erde-Mars direkt messen: Er sorgte für gleichzeitige Marsbeobachtungen von verschiedenen Orten der Erde und erkannte einen Verschiebung des Planeten am Himmel (Parallaxe).
Damit konnte man das System der AE eichen.
Bild: Keplerraum im Keplermuseum Graz
